「持续学习：数学分析之函数的连续性」百家号Lite

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在上一篇文中，学习了函数与函数极限，其中有讲到函数的四种特性：奇偶性，单调性，周期性和有界性。
今天来学习函数的另一个重要概念连续性。直观的表现是其函数图像在某点的邻域有定义，图像不断开。我们之前学的基本初等函数都是连续函数。
第1节，讲的连续的概念，和连续函数的概念：
函数的点x0连续的定义：limf(x)=f(x0） x>x0 ，这是使用了函数极限来描述函数的点连续，这也是安排本节在函数极限之后的原因。当然，也可以改为使用增量配合εσ的描述法：Δy=f(x)f(x0）;limΔy=0 Δx>0函数的点连续分为左连续与右连续当连续点组成连续区间时，函数就存在区间连续，函数区间连续细分为开区间连续，闭区间连续，半开半闭区间连续根据矛盾成对出现原则，有连续就会有间断
第2节，讲的就是函数间断的概念：
函数的间断点：就是函数不连续的点，可以分为：
第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点，这类间断点特征是函数在该点的左右极限都存在
第二类间断点：在间断点x0中，limf(x) x>x0 与limf(x) x>x0+ 至少有一个不存在，即点的左极限与右极限至少有一个不存在间断点定理：若f(x)在去区间（a,b)内单调，且x0∈(a,b)是f(x)的间断点，则x0必是跳跃间断点第3节，讲连续函数的局部性质：从函数极限的性质可以推出连续函数的局部性质
局部有界性保不等式性局部保号性满足四则运算条件的四则运算法则（加减乘除）复合函数的极限定理：limf(g(x)) x>x0=f(limg(x) xx0)=f(u0)  ,其中u0=limg(x) xx0复合函数的连续性，既然复合函数存在极限定理，同理也就可以利用复合函数的极限来描述复合函数的连续性。特别地，谈谈基本初等函数的连续性：之所以称他们为基本初等函数，是因为他们都具有多数的函数的典型特性
反函数连续定理：若函数在闭区间严格单调且连续，则其反函数在其定义域上连续定理：所有基本初等函数都在其定义域内连续定理：一切初等函数都在其定义区间上连续函数的连续性很重要，因为可以用来求极限，还与后续的微分关系很大
第4节，讲函数的整体性质：
有界性定理：函数在闭区间连续，则在此区间有界。该定理关联了函数的有界性和连续性。特别注意必须是闭区间最值的概念：分为最大值和最小值，很容易理解的概念，不过多解释最值定理：函数在闭区间连续，则函数在此区间有最值（最大与最小）。也是只对闭区间成立零点定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a).f(b)<0，则存在x0属于[a,b]，使得f(x0)=0，即方程f(x）=0在(a,b)内至少有一个根介值定理：若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，u是介于f(a)，f(b)的任何实数，则存在x0属于(a,b)，使得f(x0)=u连续性推论：若函数在区间上连续，且不是常值函数，则函数的值域是一个区间一致性连续：是指函数在区间上每一点都连续。因为函数的连续性是函数的局部性质，是点态的。
刻画一致连续：设f(x)在区间I上有定义，若对任意ε>0，存在σ=σ(ε)>0，使得对任何x1,x2∈I，只要|x1x2|<σ，就有|f(x1)f(x2)|<ε ，那么就说f(x)在I上一致连续函数的一致连续使得函数的连续性从点态变为了区间态，这种加强了条件的连续，带来了新的性质：
1）若f(x),g(x)都在区间I上一致连续，那么f(x)±g(x)也在I上一致连续
2）若f(x)在区间I上一致连续，J是I的子区间，那么f(x)在J上一致连续
3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则函数在该区间一致连续。该定理通过闭区间条件，沟通了连续与一致连续
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